Question

如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1

如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．

Answer 1

证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．
因为F为正方形ABCD对角线的交点，
所长F为AC、BD的中点．
在DD₁B中，E、F分别为DD₁、DB的中点，
所以EF∥D₁B．
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．
（2）由正方形的性质可得AC⊥BD
又由正方体的几何特征可得：D₁D⊥平面ABCD
又∵AC?平面ABCD
∴AC⊥D₁D
又∵D₁D∩BD=D
∴AC⊥平面D₁DB
∵BD₁?平面D₁DB
∴AC⊥BD₁