如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体D-ABC

如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体D-ABCE.(1)求证:BE⊥平面ADE;(2)... 如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体D-ABCE.(1)求证:BE⊥平面ADE;(2)求BD和平面CDE所成的角的正弦值. 展开
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叶落千秋月华2201
2014-08-31 · TA获得超过118个赞
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证明:(1)∵在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,∴∠AED=45°,
同理∠CEB=45°,于是∠AEB=90°,∴BE⊥AE.
∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,
∴BE⊥平面ADE.
(2)在平面CDE内,过C作CE的垂线,与过D作CE的平行线交于F,
∵BC⊥EC,CF∩BC=C,∴EC⊥平面BCF.
再过B作BG⊥CF于G,可得EC⊥BG.
连接DG,可得BG⊥平面CDE; 
∴∠BDG为BD和平面CDE所成的角.
过D作DH⊥AE交AE于点H,连接CH,BH.
在△DHC中,△DHB中,可得DC=BD=
3
,又DE=EC=1,因此∠DCE=∠CDF=30°,
∵CF⊥DF,∴CF=
3
2

由题意得BC=1,FB=
3
2
,∴BG=
6
3

因此sin∠BDG=
BG
BD
2
3

∴BD和平面CDE所成的角的正弦值为
2
3
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