如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体D-ABC
如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体D-ABCE.(1)求证:BE⊥平面ADE;(2)...
如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体D-ABCE.(1)求证:BE⊥平面ADE;(2)求BD和平面CDE所成的角的正弦值.
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证明:(1)∵在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,∴∠AED=45°,
同理∠CEB=45°,于是∠AEB=90°,∴BE⊥AE.
∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,
∴BE⊥平面ADE.
(2)在平面CDE内,过C作CE的垂线,与过D作CE的平行线交于F,
∵BC⊥EC,CF∩BC=C,∴EC⊥平面BCF.
再过B作BG⊥CF于G,可得EC⊥BG.
连接DG,可得BG⊥平面CDE;
∴∠BDG为BD和平面CDE所成的角.
过D作DH⊥AE交AE于点H,连接CH,BH.
在△DHC中,△DHB中,可得DC=BD=
,又DE=EC=1,因此∠DCE=∠CDF=30°,
∵CF⊥DF,∴CF=
.
由题意得BC=1,FB=
,∴BG=
,
因此sin∠BDG=
=
,
∴BD和平面CDE所成的角的正弦值为
.
同理∠CEB=45°,于是∠AEB=90°,∴BE⊥AE.
∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,
∴BE⊥平面ADE.
(2)在平面CDE内,过C作CE的垂线,与过D作CE的平行线交于F,
∵BC⊥EC,CF∩BC=C,∴EC⊥平面BCF.
再过B作BG⊥CF于G,可得EC⊥BG.
连接DG,可得BG⊥平面CDE;
∴∠BDG为BD和平面CDE所成的角.
过D作DH⊥AE交AE于点H,连接CH,BH.
在△DHC中,△DHB中,可得DC=BD=
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∵CF⊥DF,∴CF=
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由题意得BC=1,FB=
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因此sin∠BDG=
BG |
BD |
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∴BD和平面CDE所成的角的正弦值为
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