Question

一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少

一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？

Answer 1

设这个三位数为abc=100a+10b+C，
可得（100a+10b+c）÷（a+b+c）=[（10a+10b+10c）+（90a-9c）]÷（a+b+c）=10+9（10a-c）÷（a+b+c）；
（1）要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0，
此时商的最大值为：10+9×10a÷a=10+90=100；
（2）要使商最小，可得a=b=0，c=9，
此时商的最小值为：10+9×（10×0-9）÷（0+0+9）=10-9=1．
答：商最大是100，商最小是1．

Answer 2

设这个三位数百位、十位、个位上的数字分别为A、B、C，则有：
（100A+10B+C）÷（A+B+C）
=（10A+10B+10C+90A-9C）÷（A+B+C）
=10+9（10A-C）÷（A+B+C）

对于（10A-C）÷（A+B+C），要想商最大，那么被除数需最大，除数需最小；
显然C最小时，被除数最大，除数最小，因此取C=0，
那么（10A-C）÷（A+B+C）=10A÷（A+B）；
显然此时B最小时，除数最小，因此取B=0，
这时无论A取1到9的任何数，这个三位数除以三位数三个数字的和的商取得最大值，
最大值=A×100/A=100．