Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，32）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，32）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l的倾斜角为45°时，求|MN|的长．

Answer 1

（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，

3

2

），
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2?1

＝0，
把点P（1，

3

2

）代入，得：

1

a2

+

9 4

a2?1

=1，整理，得4a⁴-17a²+4=0，
解得a²=4，或a²=

1

4

（舍），
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

＝1．
（2）椭圆C：

x2

4

+

y2

3

＝1的左焦点F₁（-1，0），右焦点F₂（1，0），
∵过点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的方程为：y=x-1，
联立

x2 4 + y2 3 ＝1 y＝x?1

，消去y，并整理，得：7x²-8x-8=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=