Question

如图1，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三

如图1，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．（3）将△ADE绕点A逆时针旋转135°，如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”成立吗？（不用说明理由）．（4）我们是否可以猜想，将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图4中的“△BMD为等腰直角三角形”均成立？（不用说明理由）．

Answer 1

解答：（1）证明：
∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=

1

2

EC=MC，
∴∠MBC=∠MCB．
∴∠BME=2∠BCM．
同理可证：DM=

1

2

EC=MC，
∠EMD=2∠MCD．
∴∠BMD=2∠BCA=90°，
∴BM=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．

（2）（1）中的结论仍然成立．
延长DM与BC交于点N（如图）
∵DE⊥AB
CB⊥AB，
∴∠EDB=∠CBD=90°
∴DE∥BC．
∴∠DEM=∠MCN．
又∵∠EMD=∠NMC，
EM=MC
∴△EDM≌△MNC．
∴DM=MN．
DE=NC=AD．
又AB=BC，
∴AB-AD=BC-CN
∴BD=BN．
∴BM⊥DM．
即∠BMD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴BM=

1

2

DN=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．

（3）（1）中的结论成立．

（4）（1）中的结论成立．