Question

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设f(x)=x^3-mx^2-2x+5.(1)当m=1/2时,求f(x)的单调区间;(2)若m=1/2且0小于等于x小于等于2时,f(x)<k总成立,求实数k的范围;(3)若f(x)在[0,1]上有极值点,求m的取值范围.

Answer 1

1。当m=1/2时，对f(x)求导：
f`(x)=3x²-x-2=(3x+2)(x-1)
令f`(x)=(3x+2)(x-1)>0 解得：x>1或者x<-2/3 此时f(x)单调递增
令f`(x)=(3x+2)(x-1)<0 解得：-2/3<x<1 此时f(x)单调递减

所以：f(x)单调增区间为（-∞，-2/3]、[1,+∞）
单调减区间为[-2/3,1]

2.若m=1/2且0≤x≤2时,f(x)<k总成立，即：k大于f(x)的最大值
由1题知道：f(x)在[0,1]上为减函数，在[1,2]上位增函数
所以f(x)的最大值为f(0)或者f(2)
又f(0)=5<f(2)=7 即f(x)最大值为7，所以k>7
综上：k的范围为(7,+∞）

3。f(x)的导数：f`(x)=3x²-2mx-2
因为f(x)在[0,1]上有极值点，所以导数f`(x)在[0,1]上有零点
又f`(0)=-2<0
所以必有f`(1)=1-2m≥0，解得：m≤1/2
当m=1/2时，f(x)在x=1处取得极小值

综上：m的取值范围为（-∞，1/2]