Question

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为2-1，直线L：y=-x-2与坐标轴分别交于A、C两点

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为2-1，直线L：y=-x-2与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线l绕点A顺时针匀速旋转．当⊙B第一次与⊙O相切时，直线L也恰好与⊙B第一次相切．问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？

Answer 1

（1）A（-

2

，0），
∵C（0，-

2

），
∴OA=OC．
∵OA⊥OC，
∴∠CAO=45°．

（2）如图，设⊙B平移t秒到⊙B₁处与⊙O第一次相切，此时，直线α旋转到α₁恰好与⊙B₁第一次相切于点P，⊙B₁与x轴相切于点N，连接B₁O，B₁N，则MN=t．
∵以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为

2

-1，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．
∴B₁O=

2

-1+1=

2

，
∵B₁N⊥AN，
∴MN=3，橘笑即t=3．
连接圆衡含B₁A，B₁P．则B₁P⊥AP，B₁P=B₁N．
∴∠PAB₁=∠NAB₁
∵OA=OB₁=

2

，
∴∠AB₁O=∠NAB₁
∴∠拦颤PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠PAC=90°，
∴

360°?90°

3

=90°
∴直线AC绕点A顺时针旋转每秒转动90°．