Question

将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数.123…n，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此

将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数.123…n，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）=f（n）-g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．

Answer 1

（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，
其中数字0的个数为11，
则恰好取到0的概率为P（100）=

11

192

；
（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=9，
当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n-9个两位数组成，则F（n）=2n-9，
当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n-99个三位数组成，F（n）=3n-108，
当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n-999个四位数组成，F（n）=4n-1107，
F（n）=

n 1≤n≤9 2n?9 10≤n≤99 3n?108 100≤n≤999 4n?1107 1000≤n≤2014

；
（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N^*）时，g（n）=0，
当n=10k+b（1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N^*，b∈N^*）时，g（n）=k：
当n=100时，g（n）=11，
即g（n）=

0 1≤n≤9 k n＝10k+b 11 n＝100

，同理有f（n）=

0 1≤n≤8 k n＝10k+b?1 n?80 89≤n≤98 20 n＝99、100

，
由h（n）=f（n）-g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，
所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；
当n=9时，P（9）=0，
当n=90时，P（90）=

9

171

=

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