Question

设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9．（Ⅰ）求数列的公比q；（Ⅱ）求证：2S3，S6，S12-S6成等比数列

设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9．（Ⅰ）求数列的公比q；（Ⅱ）求证：2S3，S6，S12-S6成等比数列．

Answer 1

解 （Ⅰ）当q=1时，S₃+S₆=9a₁，2S₉=18a₁．因为a₁≠0，所以S₃+S₆≠2S₉，由题设q≠1．从而由S₃+S₆=2S₉得

a1(1?q3)

1?q

+

a1(1?q6)

1?q

＝2?

a1(1?q9)

1?q

，化简得2q⁹-q⁶-q³=0，
因为q≠0，所以2q⁶-q³-1=0，即（2q³+1）（q³-1）=0．又q≠1，所以q3＝?

1

2

，q＝

3	? 1 2

．
（Ⅱ）由q3＝?

1

2

得

S6

2S3

＝

1

2

?

S6?S3+S3

S3

＝

1

2

?(

S6?S3

S3

+1)＝

1

2

?(q3+1)=

1

2

(?

1

2

+1)=

1

4

；
又

S12?S6

S6

＝q6＝(?

1

2

)2＝

1

4

，所以

S6

2S3

=

S12?S6

S6

，从而2S₃，S₆，S