Question

在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2

在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（-1，0）被直线x+y-1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．

Answer 1

解答：（1）证明：把点（1，2）、（-1，0）分别代入x+y-1 可得（1+2-1）（-1-1）=-4＜0，
∴点（1，2）、（-1，0）被直线 x+y-1=0分隔．
（2）解：联立直线y=kx与曲线x²-4y²=1可得 （1-4k²）x²=1，根据题意，此方程无解，故有 1-4k²≤0，
∴k≤-

1

2

，或 k≥

1

2

．
（3）证明：设点M（x，y），则

x2+(y?2)2

?|x|=1，故曲线E的方程为[x²+（y-2）²]x²=1 ①．
y轴为x=0，显然与方程①联立无解．
又P₁（1，2）、P₂（-1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 η=1×（-1）=-1＜0，
故x=0是一条分隔线．
若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x²+（y-2）²]x²=1，可得[x²+（kx-2）²]x²=1，
令f（x）=[x²+（kx-2）²]x²-1，
∵f（0）f（2）＜0，
∴f（x）=0有实数解，即y=kx与E有公共点，
∴y=kx不是E的分隔线．
∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．