Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线，交AB延长线于点E，交A

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线，交AB延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：OD∥AC；（2）当AB=10， 时，求AF及BE的长．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2） .

试题分析：（1）若要证明OD∥AC，则可转化为证明∠C=∠ODB即可. （2）连接AD，首先利用已知条件可求出BD的长，再证明△ADC∽△AFD，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AF及BE的长． 试题解析：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C. ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.∴∠C=∠ODB. ∴OD∥AC. （2）如图，连接AD， ∵AB为直径，∴AB⊥BD.∴∠ADC=90°. ∵AB=10， ，∴BD=AB?cos∠ABC= .∴AD= . ∵DF是圆的切线，∴OD⊥DF.∴∠ODF=90°. ∵AC∥OD，∴∠AFD=90°. ∵∠ADC=∠AFD，∠DAF=∠CAD，∴△ADC∽△AFD， ∴ ，即 ，解得AF=8. ∵OD∥AF，∴ ，即 . ∴BE= ．