Question

已知抛物线x2=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）过点F的动直线l

已知抛物线x2=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）过点F的动直线l交抛物线于A、B两点，求弦AB中点Q的轨迹方程．

Answer 1

（1）抛物线的准线：y＝?

p

2

，
∴点P到准线的距离为1+

p

2

＝2，
∴p=2，
∴抛物线方程为x²=4y．
（2）F（0，1），设AB方程为y=kx+1（k显然存在）
由

y＝kx+1 x2＝4y

?x2?4kx?4＝0，（△＞0恒成立）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
则x₁+x₂=4k，
∵Q（x，y）是线段AB的中点，
∴

x＝ x1+x2 2 ＝2k y＝kx+1

，
∴k=

x

2

，
∴y＝

1

2

x2+1，
整理，得x²-2y+2=0．
故弦AB中点Q的轨迹方程为：x²-2y+2=0．