Question

已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1-x）（1）求f（x）及g（x）的解析式，并

已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1-x）（1）求f（x）及g（x）的解析式，并指出其单调性（无需证明）．（2）求使f（x）＜0的x取值范围．（3）设h-1（x）是h（x）=log2x的反函数，若存在唯一的x使1?h?1(x)1+h?1(x)＝m?2x成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
又f（x）+g（x）=2log₂（1-x），①
∴f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x），即-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），②
由①②可得g(x)＝log2(1+x)+log2(1?x)＝log2(1?x2)x∈（-1，1），
f(x)＝log2(1?x)?log2(1+x)＝log2

1?x

1+x

x∈（-1，1），
其中，g（x）在（-1，0）上递增，在（0，1）上递减．f（x）在（-1，1）上是减函数．
（2）由 f(x)＝log2

1?x

1+x

＜0，知0＜

1?x

1+x

＜1，
∴

?1＜x＜1 1?x＜1+x

故0＜x＜1，
∴x取值范围为0＜x＜1；
（3）由y＝log2

1?x

1+x

，得2y＝

1?x

1+x

，解得x＝

1?2y

1+2y

，
∴f?1(x)＝

1?2x

1+2x

，
故f^-1（x）=m-2^x即为m?2x＝

1?2x

1+2x

（*），
令t=2^x＞0  （*）可化为t²-mt+1-m=0，由题意此方程在（0，+∞）有唯一解，
令h（t）=t²-mt+1-m
（1）h（0）=1-m＜0，得m＞1，
（2）

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