Question

设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20．（1）求数列{bn}的通项公式

设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若cn=an?bn（n=1，2，3…），Tn为数列{cn}的前n项和．求Tn．

Answer 1

（1）由b_n=2-2S_n，令n=1，则b₁=2-2S₁，又S₁=b₁
所以b1＝

2

3

…（2分）
当n≥2时，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n
即

bn

bn?1

＝

1

3

…（4分）
所以{b_n}是以b1＝

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
于是bn＝2?

1

3n

…（6分）
（2）数列{a_n}为等差数列，公差d＝

1

2

(a7?a5)＝3，可得a_n=3n-1…（7分）
从而cn＝an?bn＝2(3n?1)?

1

3n

∴Tn＝2[2?

1

3

+5?

1

32

+8?

1

33

+…+(3n?1)?

1

3n

]，

1

3

Tn＝2[2?

1

32

+5?

1

33

+…+(3n?4)?

1

3n

+(3n?1)?

1

3n+1

]∴

2

3

Tn＝2[2?

1

3

+3?

1

32

+3?

1

33

+…+3?

1

3n

?(3n?1)

1

3n+1

]…（11分）Tn＝

7

2

?

1

2?3n?2

?

3n?1

3n

．…（12分）