一质量为m的物体以速度v0从原点沿y轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数k＞0
一质量为m的物体以速度v0从原点沿y轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数k＞0），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最...
一质量为m的物体以速度v0从原点沿y轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数k＞0），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度．
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根据牛顿第二定律，物体上升的高度y=y（t）所满足的微分方程为m
＝?mg?k(
)2，
初始条件为y（0）=0，y'（0）=v0.v＝
代入方程，得m
＝?mg?kv2，
＝?g?
，
记a2＝g，b2＝
，
＝?a2?b2v2，∫
＝?∫dt，
积分得
arctan
＝?t+C，t=0时，v=v0，故C＝
arctan
，
arctan
＝?t+
arctan
，
令v=0，得上升到最高点的时间为t1＝
arctan
arctan
＝ab(t1?t)，v＝
tanab(t1?t)
上升的最大高度为y＝
tanab(t1?t)dt＝
＝
ln(1+
)．
| d2y |
| dt2 |
| dy |
| dt |
初始条件为y（0）=0，y'（0）=v0.v＝
| dy |
| dt |
| dv |
| dt |
| dv |
| dt |
| kv2 |
| m |
记a2＝g，b2＝
| k |
| m |
| dv |
| dt |
| dv |
| a2+b2v2 |
积分得
| 1 |
| ab |
| bv |
| a |
| 1 |
| ab |
| bv0 |
| a |
| 1 |
| ab |
| bv |
| a |
| 1 |
| ab |
| bv0 |
| a |
令v=0，得上升到最高点的时间为t1＝
| 1 |
| ab |
| bv0 |
| a |
| bv |
| a |
| a |
| b |
上升的最大高度为y＝
| ∫ | t1 0 |
| a |
| b |
| 1 |
| b2 |
| lncos[ab(t1?t)]| | t1 0 |
| 1 |
| 2b2 |
b2
| ||
| a2 |
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