Question

高数定积分，最后一步怎么求的？最后二分之派怎么得到的

Answer 1

对sinx泰勒展开，再除以x有：
sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-2)/(2m-1)!+o(1)
两边求积分有：
∫sinx/x·dx
=[x/1-x^3/3·3!+x^5/5·5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)(2m-1)!+o(1)]

从0到无穷定积分
则将0，x(x→00）（这里的x是一个很大的常数，可以任意取）代入上式右边并相减，通过计算机即可得到结果

以上只是个人意见，以下是高手的做法：
（高手出马，非同凡响！）
考虑广义二重积分
I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy
D
其中D = [0,+∞)×[0,+∞)，
今按两种不同的次序进行积分得
I=∫sinxdx ∫e^(-xy)dy
0 +∞ 0 +∞
= ∫sinx·(1/x)dx
0 +∞

另一方面,交换积分顺序有：
I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy
D
=∫dy ∫e^(-xy)·sinxdx
0 +∞ 0 +∞
=∫dy/(1+y^2）=arc tan+∞-arc tan0
0 +∞
= π/2

所以：
∫sinx·(1/x)dx=π/2
0 +∞

追答

这个题应该是告诉你这个等于π/2的