已知函数f(x)=x2+mx+n(m∈R,n∈R).(1)若n=1时,“至少存在一个实数x0,使f(x0)<0成立”(命题
已知函数f(x)=x2+mx+n(m∈R,n∈R).(1)若n=1时,“至少存在一个实数x0,使f(x0)<0成立”(命题表示为?x∈R,使f(x)<0成立)为假命题,求...
已知函数f(x)=x2+mx+n(m∈R,n∈R).(1)若n=1时,“至少存在一个实数x0,使f(x0)<0成立”(命题表示为?x∈R,使f(x)<0成立)为假命题,求m的取值范围;(2)命题P:函数y=f(x)在(0,1)上有两个不同的零点,命题Q:-2<m<0,0<n<1.试分析P是Q的什么条件,并说明理由.(是充要条件、充分不必要条件、必要条件、既不充分也不必要条件)
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(1)“至少存在一个实数x0,使f(x0)<0成立”为假命题,则“?x∈R,f(x)≥0恒成立”为真命题.所以f(x)=x2+mx+n≥0恒成立,
所以△=m2-4n≤0,n=1,m2≤4,-2≤m≤2; (7分)
(2)P是Q的充分不必要条件.
充分性:P:函数y=f(x)在(0,1)上有两个不同的零点,
则
,则
,
故4n<1,即0<n<1,所以P是Q的充分条件; (11分)
当-2<m<0,0<n<1时,
取m=?
,n=
,则△=m2?4n<0,
函数y=f(x)没有零点,
所以P是Q的不必要条件;
综上:P是Q的充分不必要条件. (15分)
所以△=m2-4n≤0,n=1,m2≤4,-2≤m≤2; (7分)
(2)P是Q的充分不必要条件.
充分性:P:函数y=f(x)在(0,1)上有两个不同的零点,
则
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故4n<1,即0<n<1,所以P是Q的充分条件; (11分)
当-2<m<0,0<n<1时,
取m=?
1 |
2 |
1 |
2 |
函数y=f(x)没有零点,
所以P是Q的不必要条件;
综上:P是Q的充分不必要条件. (15分)
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