Question

如图，等边三角形ABC的边长为a，点P在AB上，点Q在BC的延长线上，AP=CQ，连接PQ与AC相交于点D，作PE⊥AC于

如图，等边三角形ABC的边长为a，点P在AB上，点Q在BC的延长线上，AP=CQ，连接PQ与AC相交于点D，作PE⊥AC于E，则DE=______．

Answer 1

过P作PF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠B=∠A=60°，
∵PF∥BC，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵PF∥BC，
∴∠FPD=∠Q，
在△FPD和△CQD中

∠FPD＝∠Q ∠FDP＝∠CDQ PF＝CQ

∴△FPD≌△CQD（AAS），
∴FD=DC，
∵AP=PF，PE⊥AF，
∴AE=EF，
∴DE=FE+DF=CD+AE=

1

2

AC=

1

2

a，
故答案为：

1

2

a．