Question

设a∈R，函数f（x）=x|x-a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函

设a∈R，函数f（x）=x|x-a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈[-2，4]，使得关于x的方程f（x）=t?f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）当a=2，x∈[0，3]时，f(x)＝x|x?2|+2x＝

x2  ，         x≥2  ?x2+4x ， 0≤x＜2 .

作函数图象，

可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．
所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．
（2）f(x)＝

x2+(2?a)x  ，  x≥a  ?x2+(2+a)x ， x＜a .

①当x≥a时，f(x)＝(x?

a?2

2

)2?

(a?2)2

4

．
因为a＞2，所以

a?2

2

＜a．
所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．
②当x＜a时，f(x)＝?(x?

a+2

2

)2+

(a+2)2

4

．
因为a＞2，所以

a+2

2

＜a．
所以f（x）在(?∞ ， 

a+2

2

]上单调递增，在[

a+2

2

 ， a]上单调递减．
综上所述，函数f（x）的递增区间是(?∞ ， 

a+2

2

]和[a，+∞），递减区间是[

a+2

2

，a]．
（3）①当-2≤a≤2时，<