Question

如果f（x）为偶函数，且f'（0）存在，证明：f'(0)=0

Answer 1

证明：因为f(x)为偶函数，那么有f(x)=f(-x)。

由于f(x)可导，

那么分别对f(x)=f(-x)两边同时求导，可得，

(f(x))'=(f(-x))'，

得f'(x)=f'(-x)*(-1)，

即f'(x)+f'(-x)=0。

令x=0可得，f'(0)+f'(0)=0，

则f'(0)=0。

通过上述即可证明f'(0)=0。

扩展资料：

1、导数的四则运算法则

（1）(u±v)'=u'±v'

（2）(u*v)'=u'*v+u*v'

（3）(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2

2、复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

3、导数的意义

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

4、奇函数和偶函数性质

（1）两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

（2）一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

（3）奇函数图象关于原点(0,0)对称。

（4）奇函数图象关于y轴对称。

参考资料来源：百度百科-导数

Answer 2

证明由f（x）为偶函数
即f(-x)=f(x)
两边关于x求导得
（-x)'f'(-x)=f'(x)
即-f'(-x)=f'(x)
令x=0
则-f'(-0)=f'(0)
即-f'(0)=f'(0)
即2f'(0)=0
故f'(0)=0.

Answer 3

若f(x)为常数，则恒有f'(x)=0
若f(x)不为常数，根据偶函数定义：f(-x)=f(x)
则f(x)在x=0时，必为极大值或极小值
f(x)取得最大值或最小值时，该点导数为0
故有f'(0)=0
是否可以解决您的问题？

Answer 4

f'(0)=lim(x→0)[f(0+x)-f(0)]/x
=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x
=lim(x→0)[f(-x)-f(0)]/x
=lim(x→0)[f(0+(-x))-f(0)]/x
=-lim(-x→0)[f(0+(-x))-f(0)]/(-x)
=-f'(0)
2f(0)=0,f'(0)=0