Question

若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为______（结果保

若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为______（结果保留根号的形式）．

Answer 1

已知梯形的上下底的和是4，设AB+CD=4， 对角线AC与BD交于点O，经过点C作对角线BD的平行线CE交AB的延长线于点E． ①当∠DOC=60度时，∠ACE=60°，△ACE是等边三角形，边长AC=CE=AE=4， 作CF⊥AE，CF=4×sin60°=4× 3 2 =2 3 因而面积是 1 2 ×4×2 3 =4 3 ②当∠BOC=60度时，∠AOB=180°-60°=120°， 又∵BD ∥ CE， ∴∠ACE=∠AOB=120°， ∴△ACE是等腰三角形，且底边AE=4， 因而∠CEA= 180°-120° 2 =30°，作CF⊥AE，则AF=FE=2，CF=2×tan30°= 2 3 3 ， 则△ACE的面积= 1 2 ×4× 2 3 3 = 4 3 3 ，而△ACE的面积等于梯形ABCD的面积． 因而等腰梯形的面积为4 3 或 4 3 3 ． 故答案为：4 3 或 4 3 3 ．