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如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,且∠PBC=∠C.(1)求证:CB∥PD;(2)若BC等于3
如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,且∠PBC=∠C.(1)求证:CB∥PD;(2)若BC等于3,sinP=35,求⊙O的直径;(3)连接OC,...
如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,且∠PBC=∠C.(1)求证:CB∥PD;(2)若BC等于3,sinP=35,求⊙O的直径;(3)连接OC,取其中点M,连接AM并延长交BC于F,连接DF,求证:DF平分弦BC.
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(1)证明:∵∠D=∠PBC,∠PBC=∠C,
∴∠D=∠C,
∴CB∥PD;
(2)解:连接AC,如图,![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/5d6034a85edf8db16078b9d50a23dd54564e7429?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,
∴
=
,
∴∠P=∠A,
∴sinA=sinP=
,
又∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴sinA=
=
,
而BC=3,
∴AB=5,
即⊙O的直径为5;
(3)连接BD,DF交BC于点N,如图,![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/574e9258d109b3de2fd521d9cfbf6c81800a4c1d?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
∵直径AB⊥CD,
∴弧BC=弧BD,弧AC=弧AD,
∴BC=BD,∠ABC=∠ABD,
∵∠AOC=2∠ABC,
∴∠AOC=∠DBC,
又∵∠A=∠BDF,
∴△AOM∽△DBN,
∴OA:BD=OM:BN,即BD:BN=OA:OM,
而点M为OC的中点,
∴OA=2OM,
∴BD=2BN,
∴BC=2BN,
∴BN=CN,即DF平分弦BC.
∴∠D=∠C,
∴CB∥PD;
(2)解:连接AC,如图,
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,
∴
BC |
BD |
∴∠P=∠A,
∴sinA=sinP=
3 |
5 |
又∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴sinA=
BC |
AB |
3 |
5 |
而BC=3,
∴AB=5,
即⊙O的直径为5;
(3)连接BD,DF交BC于点N,如图,
∵直径AB⊥CD,
∴弧BC=弧BD,弧AC=弧AD,
∴BC=BD,∠ABC=∠ABD,
∵∠AOC=2∠ABC,
∴∠AOC=∠DBC,
又∵∠A=∠BDF,
∴△AOM∽△DBN,
∴OA:BD=OM:BN,即BD:BN=OA:OM,
而点M为OC的中点,
∴OA=2OM,
∴BD=2BN,
∴BC=2BN,
∴BN=CN,即DF平分弦BC.
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