Question

如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC等于3

如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC等于3，sinP=35，求⊙O的直径；（3）连接OC，取其中点M，连接AM并延长交BC于F，连接DF，求证：DF平分弦BC．





Answer 1

（1）证明：∵∠D=∠PBC，∠PBC=∠C，
∴∠D=∠C，
∴CB∥PD；

（2）解：连接AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴

BC

=

BD

，
∴∠P=∠A，
∴sinA=sinP=

3

5

，
又∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴sinA=

BC

AB

=

3

5

，
而BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直径为5；

（3）连接BD，DF交BC于点N，如图，
∵直径AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD，弧AC=弧AD，
∴BC=BD，∠ABC=∠ABD，
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOC=∠DBC，
又∵∠A=∠BDF，
∴△AOM∽△DBN，
∴OA：BD=OM：BN，即BD：BN=OA：OM，
而点M为OC的中点，
∴OA=2OM，
∴BD=2BN，
∴BC=2BN，
∴BN=CN，即DF平分弦BC．