Question

如图1，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上两点，弧AC=弧CD，过点C作⊙O的切线，分别交BD、BA延长线于点E、P．

如图1，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上两点，弧AC=弧CD，过点C作⊙O的切线，分别交BD、BA延长线于点E、P．（1）若AD=6，BC=5，求BD的长．（2）如图2，若AD、BC交于点H，AH=52，DH=32，求tan∠PBC的值．

Answer 1

解：（1）连接OC，交AD于点F，连接AC，
∵PE是⊙O的切线，
∴OC⊥PE，
∵弧AC=弧CD，
∴OC⊥AD，
∴AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BE，
∴PE⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴CE=DF=

1

2

AD=

1

2

×6=3，
∵BC=5，
∴BE=

BC2?CE2

=4，
∵弧AC=弧CD，
∴∠ABC=∠CBE，
∵∠ACB=∠E=90°，
∴△BAC∽△BCE，
∴

BC

BE

＝

BA

BC

，
∴AB=

BC2

BE

=

25

4

，
在Rt△ABD中，BD=

AB2?AD2

=

7

4

；

（2）连接AC，OC交AD于点K，
∵

AC

=

CD

，
∴∠PBC=∠CAH，
∴tan∠PBA=tan∠CAH，
由题意可得出：CK⊥AH，AC⊥CH，
∵O为AB中点，OC∥BD，
∴AK=DK=

1

2

AD，
KH=AH-2=

1

2

，
∵∠CAK=∠HCK，
∴tan∠CAK=tan∠HCK，
∵∠ACH=90°，CK⊥AH，
∴CK ²=AK×KH=2×

1

2

=1，
∴CK=1，
故tan∠PBC=tan∠CAH=

CK

AK

=

1

2

．