Question

已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|（1）解不等式f（x）≤4；（2）对任意x∈R都有f（x）-a≥0恒成立，求实数a的

已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|（1）解不等式f（x）≤4；（2）对任意x∈R都有f（x）-a≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=|2x+1|-|x-3|=

?x?4 ， x＜? 1 2 3x?2  ， ? 1 2 ≤x＜3 x+4  ，x≥3

，
故由f（x）≤4可得

?x?4≤4 x＜? 1 2

①，或 

3x?2≤4 ? 1 2 ≤x＜3

 ②，或 

x+4≤4 x≥3

③．
解①求得-8≤x＜-

1

2

，解②求得-

1

2

≤x≤2，解③求得x∈?．
综上可得，不等式的解集为[-8，2]．
（2）∵对任意x∈R都有f（x）-a≥0恒成立，∴f_min（x）≥a．
由（1）可得，f_min（x）=f（-

1

2

）=-

7

2

，∴a≤-

7

2

，即实数a的取值范围为（-∞，-

7

2

]．