Question

（文）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点

（文）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为π3的直线，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过圆心M的直线交抛物线C于P、Q两点，问OP?OQ是否为定值，若是定值，求出该定值．

Answer 1

（Ⅰ）因为

p

2

=OA?cos60°=2×

1

2

=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y²=4x
设⊙M的半径为r，则r=

OB

2

×

1

cos60°

=2，所以⊙M的方程为（x-2）²+y²=4
（Ⅱ）M（2，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
（1）当PQ斜率不存在时，P（2，2

2

），Q（2，-2

2

），则

OP

?

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=-4
（2）当PQ斜率存在时，设PQ的方程为y=k（x-2）（k≠0），消y得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0
所以x₁+x₂=

4k2+4

k2

，x₁x₂=4，
因为y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，所以y₁²y₂²=16x₁x₂=64，故y₁y₂=-8
所以

OP

?

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=-4
所以

OP

?

OQ

为定值，该值为-4．