Question

已知函数f（x）=|x-a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件

已知函数f（x）=|x-a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）≤3得|x-a|≤3， 解得a-3≤x≤a+3． 又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}， 所以 a-3=-1 a+3=5 解得a=2．（6分） （2）当a=2时，f（x）=|x-2|． 设g（x）=f（x）+f（x+5）， 于是 g(x)=|x-2|+|x+3|= -2x-1，x＜-3 5  -3≤x≤2 2x+1 x＞2 所以当x＜-3时，g（x）＞5； 当-3≤x≤2时，g（x）=5； 当x＞2时，g（x）＞5． 综上可得，g（x）的最小值为5． 从而，若f（x）+f（x+5）≥m 即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（-∞，5]．（12分）