Question

如图，F1、F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A，B两

如图，F1、F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等腰直角三角形且∠ABF2=90°，双曲线的离心率为e，则e2=______．

Answer 1

∵过F₁的直线l与双曲线的左支相交于A、B两点，
且三角形ABF₂是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴设|BF₂|=|AB|=x，∠ABF₂=90°，
∴|AF₁|=x-|BF₁|=2a，
∴|AF₂|=4a，
∵∠ABF₂=90°，
∴2x²=16a²，解得|BF₂|=|AB|=2

2

a，
∴|BF₁|=（2

2

+2）a，
∴[（2

2

+2）a]²+（2

2

a）²=（2c）²，
∴e²=5+2

2

．
故答案为：5+2

2

．