Question

已知函数f（x）=2（m+1）x2+4mx+2m-1．（1）若函数的一个零点在原点，①求m的值；②求当x∈[-1，2]时f（x

已知函数f（x）=2（m+1）x2+4mx+2m-1．（1）若函数的一个零点在原点，①求m的值；②求当x∈[-1，2]时f（x）的值域；（2）若0＜m＜12，求证f（x）在（0，1）上有一个零点．

Answer 1

（1）①由题意，2m-1=0，
解得m=

1

2

；
②f（x）=3x²+2x=3（x+

1

3

）²-

1

3

，
∵x∈[-1，2]，
∴-

1

3

≤f（x）≤16，
则f（x）的值域为[-

1

3

，16]；
（2）证明：∵函数f（x）=2（m+1）x²+4mx+2m-1在[0，1]上连续，
又∵0＜m＜

1

2

，
∴f（0）=2m-1＜0，f（1）=2m+2+4m+2m-1=8m+1＞0；
∴f（x）在（0，1）上有一个零点．