Question

设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（

设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数m，使得不等式Sn?1005＞a2n2对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；（3）请构造一个与数列{Sn}有关的数列{un}，使得limn→∞(u1+u2+…+un)存在，并求出这个极限值．

Answer 1

（1）由题意得，2S_n=a_n²+a_n①，
当n=1时，2a₁=a₁²+a₁，解得a₁=1，…（1分）
当n≥2时，有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1②，
①式减去②式得，2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
于是，a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1，…（2分）
因为a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=1，
所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，…（3分）
所以{a_n}的通项公式为a_n=n（n∈N*）．…（4分）
（2）设存在满足条件的正整数m，
则

n(n+1)

2

?1005＞

n2

2

，

n

2

＞1005，n＞2010，…（6分）
又M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，
所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，
它们组成首项为2010，公差为2的等差数列．…（8分）
设共有k个满足条件的正整数，
则2010+2（k-1）=2998，解得k=495．…（10分）
所以，M中满足条件的正整数m存在，
共有495个，m的最小值为2010．…（12分）
（3）设un＝

1

Sn

，即un＝

2

n(n+1)

，…（15分），
则u1+u2+…+un＝

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

=2[(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)]＝2(1?

1

n+1

)，
其极限存在，且

lim

n→∞

(u1+u2+…+un)＝

lim

n→∞

[2(1?

1

n+1

)]＝2．…（18分）
注：un＝

c

Sn

（c为非零常数），un＝(

1

2

)

c?Sn

n+1

（c为非零常数），
un＝q

c?Sn

n+1

（c为非零常数，0＜|q|＜1）等都能使

lim

n→∞

(u1+u2+…+un)存在．