Question

（2011?长宁区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x2+4x+6与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），

（2011?长宁区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x2+4x+6与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于C点，顶点为D．过点C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O1，交直线CD于P、E两点．（1）求E点的坐标；（2）连接PO1、PA．求证：△BCD∽△PO1A；（3）①以点O2（0，m）为圆心画⊙O2，使得⊙O2与⊙O1相切，当⊙O2经过点C时，求实数m的值；②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O3，以O3为圆心画⊙O3，使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切．直接写出满足条件的点O3的坐标（不需写出计算过程）．

Answer 1

（1）y=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∴C（0，6），D（1，8），
设直线CD：y=kx+b（k≠0）将C、D代入得

b＝6 8＝k+6

，
解得

k＝2 b＝6

，
∴CD直线解析式：y=2x+6，当y=0，x=-3，
∴E（-3，0）；

（2）令y=0得-2x²+4x+6=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
又∵O（0，0）、E（-3，0），
∴以OE为直径的圆心O1(?

3

2

，0)、半径r1＝

3

2

．
设P（t，2t+6），
由PO1＝

3

2

得

(t+ 3 2 )2+(2t+6)2

＝

3

2

，
解得：t ₁=-

12

5

，t ₂=-3（舍），
∴P(?

12

5

，

6

5

)，
∴PA＝

85

5

，AO1＝

1

2

，
又DC＝

5

，CB＝3

5

，DB＝2

17

，
∴

DC

AO1

＝

CB

PO1

＝

DB

PA

＝2

5

，
∴△BCD∽△PO₁A；

（3）①O1(?

3

2

，0)，r1＝

3

2

，O₂（0，m）
据题意，显然点O₂在点C下方r₂=O₂C=6-m，
当⊙O₂与⊙O₁外切时O₁O₂=r₁+r₂，
代入得

( 3 2 )2+m2

＝

3

2

+(6?m)，
解得：m1＝

18

5

，m2＝2（舍），
当⊙O₂与⊙O₁内切时O₁O₂=|r₁-r₂|，
代入得

( 3 2 )2+m2

＝|

3

2

?(6?m)|，
解得：m1＝2，m2＝

18

5

（舍），
∴m1＝

18

5

，m2＝2，

②当⊙O₃与⊙O₂圆心重合时O3(0，

18

5

)，O₃（0，2），
当⊙O₁与⊙O₂外切时，O3(

3

2

，0)，O3(0，

14

15

)，O3(

21

2

，0)，O3(0，?

10

7

)；
当⊙O₁与⊙O₂内切时O3(?

45

14

，0)．