Question

如图，关于判断级数敛散性的一道题，求大神给个详细过程

Answer 1

|a(n+1)/an|=1/r
=|[(n+1)!/(n+1)∧(n+1)]/[n!/nⁿ]|
=|(n+1)*nⁿ/[(n+1)∧n*(n+1)]|
=|nⁿ/[(n+1)∧n]|
=|[n/(n+1)]ⁿ|
=|1/[(n+1)/n]ⁿ|
∵lim[(n+1)/n]ⁿ
=lim[(1+1/n)ⁿ] (n->∞)
=e
∴ |a(n+1)/an|=1/r
=1/e < 1 (n->∞)
∴收敛半径r=e
当x=e时，对于原级数
|f(e, n+1)/f(e, n)|
=|[(n+1)!*e∧(n+1)/(n+1)∧(n+1)]/[n!*eⁿ/nⁿ]|
=|(n+1)*e*nⁿ/[(n+1)∧n*(n+1)]|
=e|nⁿ/[(n+1)∧n]|
=e|[n/(n+1)]ⁿ|
=e|1/[(n+1)/n]ⁿ|
=e*1/e (n->∞)
=1
∴x=e时，原级数发散
又x≥0，∴收敛域为[0,e)
即0≤x<e时，原级数收敛
x≥e时，原级数发散

追问

当x=e时,用比值审敛法得结果为1，所以比值审敛法失效

所以x=e的这部分证明的不对

大神，有两个问题请教你下哈：1.①和③的不等式，是根据什么推导出来的哦？ 2.②处的式子，an>e为什么就可以推出发散哦？

Answer 2

追问

大神，有两个问题请教你下哈：1.①和③的不等式，是根据什么推导出来的哦？ 2.②处的式子，an>e为什么就可以推出发散哦？

追答

第二个问题，an 不收敛于 0，级数当然发散了。

第一个问题，用积分不等式

追问

恕我愚钝…都不好意思麻烦你了…①处的式子咋来的。②处的式子没算出结果…

追答

第一处，lnk 相当于常值函数，在单位区间内的积分就是自身

追问

明白lnk了

追答

第二处，积分不就是了。

追问

算的对吗？

追答

对，这也要问？

追问

算不出这个结果

我再算算

Answer 3

根值审敛法，结合斯特林公式，可求出级数收敛域

追问

详细过程啊

再说，有阶乘，也就不能用根值审敛法啊

追答

要用斯特林公式计算

追问

给个过程可不可以哦

追答

剩下就是对x讨论，大于e，小于e

追问

这是标准答案，用的是比值审敛法～就在问号的地方看不懂了

追答

感觉他自己想的有问题，，，

追问

亲 有没有好的解题办法哦😂😂