Question

设∑是由三个坐标面和平面x+y+z=1围成的四面体的外侧,求曲面积分∮∮zdxdy

Answer 1

用高斯公式。
P=Q=0，R=z。
原式=∫∫∫(R'z)dv=∫∫∫dv=积分区域——四面体的体积。

追问

不用高斯公式怎么解？

追答

那就用计算公式直接计算，分成四部分算。
其中在三个坐标面的积分都是0，
所以只求S：x+y+z=1上的曲面积分即可。
原式=在S上的曲面积分，化成二重积分
=∫∫（D）【1-x-y】dxdy
其中D是由x+y=1以及x轴、y轴围成的三角形区域。
上式=∫（0到1）dx∫（0到1-x）【1-x-y】dy

Answer 2

用高斯公式计算即可，令p=x+1，q=y，r=1，则p'x=1，q‘y=1，r’z=0，所以原积分=∫∫∫(p'x+q‘y+r’z)dxdydz=2∫∫∫dxdydz，根据三重积分的几何意义，∫∫∫dxdydz表示积分区域所构成立体的体积，本题中锥体体积=1/6，故原积分=1/3。