Question

【线性代数】求教求将向量组扩充为4维向量空间的规范正交基的问题，如图

1：怎么知道要扩充到4个向量呢？是不是必须扩充到4个才行？只扩充成2个，3个，可以吗？例如只将a1,a2用schmidt正交规范化可以吗？
2：若在已知需要扩充到4个向量的条件下，按照施密特正交规范化的公式，直接令b1=a1,b2=a2-([a2,b1]/[b1,b1])b1 ，然后用求出线性方程组（a1,x)=(a2,x)=0的基础解系，再用施密特的方法将基础解系正交化，求出b3,b4 。最后将b1,b2,b3,b4单位化。这样做可以吗？书上的要令b1和b2分别等于另外添加两个已正交的向量（0,0,0,1）^T和(0,0,1,0)^T，接下来求b3,b4的这种做法不太明白其思想？若我说的第一种方法可以，那第一种方法跟书中的方法有什么不同？哪种更好？
恳请高手指点一二，万分感谢O(∩_∩)O~

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Answer 1

　　1、求的是R^4的空间的一组基，那么其基中元素一定是4个。
　　附：R^4={(a,b,c,d)^Tla,b,c,d均属于R}

　　2、你的做法是可行的。
　　你的方法优点：任何情况下均可使用，
　　缺点：解方程可能相对复杂些。
　　书上方法优点：简单直白，计算不因题目不同计算量不同
　　缺点：取b1,b2的时候需要小心，如果和α1和α2线性相关就导致计算失败，但不会导致错误，因为某个时刻你计算出的会是0向量，这时你必须修改对应的b

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　　四维空间我不好用文字描述，我用三维空间解释下你所提的问题，
　　如果α1不为零，且是R^3中的向量，扩充为R^3的规范正交基

　　你的做法：找到α1生成的空间（也就是α1所在直线）的正交补（与α1所在直线垂直的过原点的平面），在正交补中寻找一个组正交基α2，α3（也就是称为“正交补”的那个平面中的相互垂直的两个向量），那么α1，α2，α3显然是三个两两正交（垂直）的单位向量，也就R^3的规范正交基

　　书上的做法：在空间中找两个向量α2，α3，使得α1，α2，α3不在同一个平面上，然后就是施密特规范正交，