Question

如图，已知正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB,DA上的点.当△APQ的周长为2，求∠PCQ

Answer 1

延长AB,作BE=DQ,连接CE
则△CDQ≌△CBE
∴∠DCQ=∠BCE,DQ=BE,CQ=CE
∴∠QCE=∠BCE+∠BCQ=∠DCQ+∠BCQ=90º
设DQ=X,BP=Y
则AQ=1-X,AP=1-Y
PE=DQ+PB=X+Y, PQ=△APQ周长-AQ-AP=2-(1-X)-(1-Y)=X+Y
则△QCP≌△ECP (S,S,S)
∴角QCP=角PCE, ∴角QCP=90º/2=45º

看在打字这么辛苦，解释这么清楚的份上，要采纳啊！！！

Answer 2

假设：角DCQ=α，角BCP=β，|PQ|=c，则
tg(角PCQ)=tg(90-α-β)=ctg(α+β)=(1-tgα*tgβ)/(tgα+tgβ)-----(*)
在△CDQ中，由|CD|=1，知：|DQ|=tgα，|AQ|=1-tgα
在△CBP中，由|BC|=1，知：|BP|=tgβ，|AP|=1-tgβ
因为△APQ的周长为2，所以：由|PQ|=2-|AQ|-|AP|，知：
c=2-（1-tgα）-（1-tgβ），即，c=tgα+tgβ------------(1)
又因为△APQ是Rt△，所以，|AQ|^2+|AP|^2=|PQ|^2，知：
(1-tgα)^2 + (1-tgβ)^2=c^2
展开上式，得：
1-2tgα+(tgα)^2+1-2tgβ+(tgβ)^2=c^2
即，2-2(tgα+tgβ)+(tgα)^2+(tgβ)^2=c^2
2-2c+(tgα)^2+(tgβ)^2=c^2
2-2c+(tgα+tgβ)^2-2tgαtgβ=c^2
2-2c+c^2-2tgαtgβ=c^2
2(1-c)-2tgαtgβ=0
tgαtgβ=1-c---------------------------------------(2)
把(1)(2)代入(*)
tg(角PCQ)=(1-tgα*tgβ)/(tgα+tgβ)=c/c=1
所以，角PCQ=45度