Question

如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD‖BC,AB⊥BC,角DCB=75°,以CD为一边的等边△DCE的

等边△DCE的另一顶点E在腰AB上。
（1）求角AED的度数
（2）求证：AB=BC
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，角FBC=30°，求DF/FC的值（步骤）

Answer 1

(1)∵∠ADC+∠DCB=180°, ∠DCB=75°
∴∠ADC=105°
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC, ∠EDC=60°
∴∠ADE=105°-60°=45°
(2) 取DE中点G，分别连接AG,DG
∵∠EAD=90°, ∠ADE=45°
∴△EAD是等腰直角三角形
∴AE=AD
∴AG⊥DE
∵△ECD是等边三角形
∴CG⊥DE
∴点A,G,C三点在同一条直线上
此时，在△ABC中，∠B=90°, ∠BAC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形
∴AB=BC
(3) 延长EB至H，使得EB=BH，连接CH
∵∠EBC=90°, ∠ECB=15°
∴∠ECH=2∠ECB=30°, ∠HEC=∠EHC=75°
∵∠FBC=30°,∠DCB=75°
∴∠BFC=75°
∴△ECH与△FBC相似
∴FC/2EB=BC/CE
∴FC=2EB*BC/CE=2*BE*cos15°=2*EC*sin15°*cos15°
∴FC/DC=FC/EC=2*sin15°*cos15°=sin30°=1/2
∴DF/FC=1

Answer 2

　　（1）解：∵∠BCD=75°，AD∥BC，
　　∴∠ADC=105°．
　　由等边△DCE可知∠CDE=60°，
　　故∠ADE=45°．
　　由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，
　　∴∠AED=45°．

　　（2）证明：由（1）知∠AED=45°，
　　∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．
　　由△DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上．
　　∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE．
　　连接AC，∵∠AED=45°，
　　∴∠BAC=45°，
　　又∵AB⊥BC，
　　∴∠ACB=45°，
　　∴BA=BC．
（3）解：∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°．
　　连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，
　　∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，
　　∴∠BFC=75°，故BC=BF．
　　由（2）知：BA=BC，故BA=BF，
　　∵∠ABF=60°，
　　∴AB=BF=FA，
　　又∵AD∥BC，AB⊥BC，
　　∴∠FAG=∠G=30°．
　　∴FG=FA=FB．
　　∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，
　　∴△BCF≌△GDF．
　　∴DF=CF，即点F是线段CD的中点．
　　∴DF/FC=1

Answer 3

尽管这可能会影响到我的采纳率，但还是发一下吧，给看不懂第三题的童鞋们另外一个方法哈~~~

（1）解：∵∠BCD=75°，AD∥BC，
∴∠ADC=105°．
由等边△DCE可知∠CDE=60°，
故∠ADE=45°．
由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，
∴∠AED=45°．

（2）证明：由（1）知∠AED=45°，
∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．
由△DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上．
∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE．
连接AC，∵∠AED=45°，
∴∠BAC=45°，
又∵AB⊥BC，
∴∠ACB=45°，
∴BA=BC．

（3）解：∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°．

连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，
∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，
∴∠BFC=75°，故BC=BF．
由（2）知：BA=BC，故BA=BF，
∵∠ABF=60°，
∴AB=BF=FA，
又∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠FAG=∠G=30°．
∴FG=FA=FB．
∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，
∴△BCF≌△GDF．
∴DF=CF，即点F是线段CD的中点．
∴DF/ FC =1．

Answer 4

(1)证明：
等边△DCE,∠DCE=∠DEC=60°
∠ECB=∠DCB - ∠DCE=75° - 60° = 15°,∠BEC=90° - ∠ECB=15 °
∠AED=180° - ∠DEC - ∠BEC=180° - 75° - 60° = 45°
第一题，求的是∠AED的度数，不是∠ADE。

Answer 5

我只是来捣乱、帮忙发图的

Answer 6

。。。