Question

求两题高等数学数学极限

limx(x-0)(1/sinx)^2-(1/x)^2
limx(x趋近无穷）（sin√x+1）-sin√x
请问不用这些定理，还能写出来吗

Answer 1

你题目写的不太清楚。
1.limx(x-0)(1/sinx)^2-(1/x)^2
=lim(x的平方-sinx的平方)/(x^2*sinx^2) {x的平方-sinx的平方=(x+sinx)*(x-sinx)}
x+sinx与2x等价无穷小，x-sinx与(1/3！)x^3等价无穷小 （sinx用泰勒展开）
所以原式=lim{2x*(1/3！)x^3}/(x^2*sinx^2)
=1/3
2.limx(x趋近无穷）（sin√x+1）-sin√x
由拉格朗日中值定理得：在(x,x+1）中存在一个a，使（sin√x+1）-sin√x=
1/2(cos√a)/√a*{(x+1)-x}=1/2(cos√a)/√a
所以由题意，当x趋于无穷，a也趋于无穷
原式=lim（a趋于无穷）1/2(cos√a)/√a
=0