Question

已知二次函数y=x²;+bx-c的图像与x轴两交点的坐标为（m，0）.（-3m，0）（m≠0）。

已知二次函数y=x²;+bx-c的图像与x轴两交点的坐标为（m，0）.（-3m，0）（m≠0）。（1）证明：4c=3b²;；（2）若该点函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值。

Answer 1

1， （m，0）.（-3m，0）两点对称，对称轴为x=-m=-b/2，所以b=2m
将（m，0）代入函数，得m²+bm-c=0 又b=2m，可得c=3m²
因为b=2m，c=3m² 所以4c=3b²

2，对称轴为x=-m=-b/2=1，所以m=-1，b=2，c=3
所以最小值为 当x=1时的y值 最小值为0

Answer 2

把（M,0)。（3M,0)带入函数中，化简分别有m2+bm-c=0;9m2-3m-c=0.第一个等式可以得c=m2+bm，将它带入第二个等式中，有b=2m，再将b=2m带入c=m2+bm中，得证明4c=3b2。
对称轴-b/2a=1，a=1，可以得b=-2，又因b=2m，得m=-1。所以c=-1（c=m2+bm）。得方程f(x)=x2-2x+1=(x-1)2大于等于0，所以最小值为0。

Answer 3

函数过（m,0)、(-3m,0)两点，对称轴为x=-m,由表达式可以得出对称轴为x=-b/2,即m=-b/2，则（-b/2，0）点在函数上，带入y=x²;+bx-c，得0=(-b/2)²-b²/2-c,整理得4c=3b²。
由对称轴为x=1,得b=-2,c=3,函数表达式为：y=x²-2x-3,开口向上，整理y=(x-1)²-4,当x=1时，y=-4,最小值为－4