Question

数学希尔伯特空间问题

希尔伯特空间最大的好处是可以定义内积，这里的内积到底是什么意思？内积不就是自己和自己的点积吗？线性空间不也能有点积么？

Answer 1

线性空间：是给出代数结构的空间，也即有向量加法、数乘运算。
度量空间：定义距离，有极限运算。给出了拓扑结构。有点、距离、极限元素。
线性度量空间：是上述两者兼容的空间，也即度量的完备。

然后并列的。赋范线性空间：刻画（赋予）了向量的大小——范数。定义不同范数，向量大小不一样。上面的线性空间一般是最大值距离空间。另外不同范数，空间性质也不同。给出了向量的长度。不一定具有下面所说的完备性。
巴拿赫空间：一个赋范线性空间按范数收敛。
希尔伯特空间：定义了内积，给出了向量间的角度，并且按内积范数收敛，具备完备化。大小不止是数值还有方向。也即上面的范数用内积来定义。

个人理解 线性空间可以定义内积，但从数学理论看线性空间不是天然有内积性质，内积是一种描述方法或者规范化方法。内积的描述方法可以不止描述线性空间，也可以描述其他事件，比如概率事件。