Question

微分方程∶设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=c^2*v^2(其中，c为

微分方程∶设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=c^2*v^2(其中，c为常数，v为物体的运动速度)，试求物体下落的距离s与时间t的函数关系。

具体题目看图，黑色水笔是我写的，铅笔写的是答案……

Answer 1

物体下落时,受到重力Mg、空气阻力 f.

f ＝C* V

由牛二得　：

Mg－f ＝Ma，即　Mg－C* V＝M * dV / dt

整理后　得　M* dV /（Mg－C* V）＝dt

两边积分,得　（－M / C）* ln（Mg－C* V）＝t＋K1　　（K1是积分常数）

由初始条件：t＝0时,V＝0（从静止开始下落的）,得　K1＝（－M / C）* ln（Mg）

所以,（－M / C）* ln（Mg－C* V）＝t＋（－M / C）* ln（Mg）

即　t＝（M / C）* ln [ Mg /（Mg－C* V）]

得　V＝（Mg / C）* { 1－e^[-(C t / M)] }

由于　V＝dS / dt 　,即　S＝∫ V dt，所以　S＝∫ V dt＝（Mg / C）* t＋（M^2*g / C^2）* e^[-(C t / M)]＋K2          （K2是积分常数）

由初始条件：t＝0时,S＝0　得　K2＝－（M^2*g / C^2）

所求的S与 t 的关系是　

S＝（Mg / C）* t＋（M^2*g / C^2）* e^[-(C t / M)]－（M^2*g / C^2）

扩展资料

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

 

然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解

对于方程：

可知其通解：

其特征方程：

根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解

一般的通解形式为：

若  ，则有

若  ，则有

在共轭复数根的情况下：

 

参考资料来源：百度百科：微分方程

Answer 2

已在草稿上弄出，等我抄一遍拍照。

追答