Question

求写明。第五题 积分大小证明

Answer 1

　　证明：分享一种解法解法。应用Jordan不等式来计算【Jordan不等式是，当0<θ<π/2时，2x/π<sinx<x。】
　　本题中，x∈[0,1]，显然满足Jordan不等式的条件，∴(2x/π)^9≤(sinx)^9≤x^9。
　　又，0≤x≤1，∴1≤1+x≤2，∴1/√2≤1/√(1+x)≤1，
　　∴(1/√2)(2x/π)^9≤(sinx)^9/√(1+x)≤x^9。
　　∴对其0到1积分，有∫(0,1)(1/√2)(2x/π)^9dx≤∫(0,1)(sinx)^9/√(1+x)dx≤∫(0,1)x^9dx。
　　而∫(0,1)x^9dx=1/10，∫(0,1)(1/√2)(2x/π)^9dx=[(1/√2)(2/π)^9]/10，
　　即[(1/√2)(2/π)^9]/10≤∫(0,1)(sinx)^9/√(1+x)dx≤1/10成立。供参考。