Question

求极限lim(x→0)(((e^x)-1)/x)^(1/x) 答案好像是e^1/2

Answer 1

这是1^∞型极限，运用重要极限 lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e

lim<x→0> [(e^x-1)/x]^(1/x)
=lim<x→0> [1+(e^x-x-1)/x]^(1/x)
=lim<x→0> [1+(e^x-x-1)/x]^[x/(e^x-x-1)]*(1/x)*[(e^x-x-1)/x]
=e^{lim<x→0> (1/x)*[(e^x-x-1)/x]}....重要极限 lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e
=e^{lim<x→0> [(e^x-x-1)/x²]}
=e^{lim<x→0> [(e^x-1)/2x]}......L'Hospital法则
=e^[lim<x→0> (e^x/2)]......L'Hospital法则
=e^(1/2)