Question

lim(x→∞)e^x/[(1+1/x)^x^2]求极限

为什么不可以用无穷小替换，将(1+1/x)^（x^2）= ((1+1/x)^x)^x 变成e^x

Answer 1

=lim(x→∞)e^x / e^x^2·ln[(1+1/x)]

=e^ lim(x→∞) (x - x^2·ln[(1+1/x)])

令u=1/x，则u→0.

原式=e^ lim(u→0) (1/u - ln[(1+u)] /u²)

=e^ lim(u→0) ( (u - ln[(1+u)] ) /u²)

=e^ lim(u→0) ( (1 - 1/(1+u) ) /2u)

=e^ lim(u→0) ( 1/[2(1+u)] )

=e^(1/2)

即√e

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

lim(x→∞)e^x/[(1+1/x)^x^2] 可以转成求

lim(x→0)e^(1/x)/[(1+x)^(1/x^2)]=lim(x→0)e^[1/x-ln(1+x)/x^2]=e^[lim(x→0)(x-ln(1+x))/x^2

=e^[lim(x→0)(1-1/(1+x))/(2x)=e^[lim(x→0)1/(2(1+x))]=e^(1/2)