Question

lim(x→∞)e^x/[(1+1/x)^x^2]求极限，请各位大神详细解答写出原因

lim(x→∞)e^x/[(1+1/x)^（x^2）]

Answer 1

解
分子=e^x
分母=[1+(1/x)]^(x²).
原式y=(e^x)/[1+(1/x)]^(x²).
两边取自然对数，可得：
lny=[ln(e^x)]-ln{[1+(1/x)]^(x²)}
=x-(x²)·ln[1+(1/x)]
=[t-ln(1+t)]/t². (此时换元，t=1/x, t--->0.)
由洛必达法则可知：右边为0/0型。
由洛必达法则可知，当t--->0时，右边的极限=1/2
∴lny--->1/2
∴y--->√e
∴原极限=√e

Answer 2

=lim(x→∞)e^x / e^x^2·ln[(1+1/x)]
=e^ lim(x→∞) (x - x^2·ln[(1+1/x)])
令u=1/x，则u→0.
原式=e^ lim(u→0) (1/u - ln[(1+u)] /u²)
=e^ lim(u→0) ( (u - ln[(1+u)] ) /u²)
=e^ lim(u→0) ( (1 - 1/(1+u) ) /2u)
=e^ lim(u→0) ( 1/[2(1+u)] )
=e^(1/2)
即√e

Answer 3

在x→∞的时候，(1+1/x)^x的极限值是趋于e的

lim(x→∞)e^x / e^x^2·ln[(1+1/x)]
=e^ lim(x→∞) (x - x^2·ln[(1+1/x)])
令u=1/x，则u→0.
原式=e^ lim(u→0) (1/u - ln[(1+u)] /u²)
=e^ lim(u→0) ( (u - ln[(1+u)] ) /u²)
=e^ lim(u→0) ( (1 - 1/(1+u) ) /2u)
=e^ lim(u→0) ( 1/[2(1+u)] )
=e^(1/2)
即√e

Answer 4

e^x/[(1+1/x)^(x^2)=(e/(1+1/x)^x)^x
设y=(e / (1+1/x)^x)^x
lny=x（1-xln(1+1/x))
=(1-xln(1+1/x))/(1/x)
这是0/0未定式，可用罗比达法则

Answer 5

为什么不可以用无穷小替换，将(1+1/x)^（x^2）= ((1+1/x)^x)^x 变成e^x