无理数的证明方法

 我来答
云白北斗星9692
2016-05-09 · TA获得超过265个赞
知道答主
回答量:171
采纳率:50%
帮助的人:61.9万
展开全部

欧几里得《几何原本》中提出了一种证明无理数的经典方法:
证明: √2是无理数
假设√2不是无理数
∴√2是有理数
令 √2=p/q (p、q互质)
两边平方得:
2=(p/q)^2
即:
2=p^2/q^2
通过移项,得到:
2*q^2=p^2
∴p^2必为偶数
∴p必为偶数
令p=2m
则p^2=4m²
∴2q^2=4m^2
化简得:
q^2=2m^2
∴q^2必为偶数
∴q必为偶数
综上,q和p都是偶数
∴q、p互质,且q、p为偶数
矛盾 原假设不成立
∴√2为无理数 证明是无理数(整数n>=2)a,b互素
假设则存在

则a为偶数,设a=2t, t为自然数 代人上式有
则b同样是偶数,与条件(a,b)为互素的最小整数是相互矛盾的
那么假设是不成立的

成立,那么必为无理数。 条件(整数n>2)a,b互素,p,q互素,则有
成立。
以下是证明:
假设
则:(p^n+q^n)b^n=a^n q^n
(1) p^nb^n=q^n(a^n -b^n)
由于p,q互素那么q必为b的因子
设b=qt代人(1)式
p^n +q^n=(a/t)^n
如果t>=2,则,t必为a的因子,与a b互素相矛盾,所以t必须等于1
则:
(2)p^n +q^n=a^n
如果(2)依然成立则有

要使得a-q为整数,至少a-q的小数部分为有理数,而a-q的展开式是无限级数,那么只有一个条件下a-q才可能是有理数,就是级数的系数的绝对值相等,由此只有n趋近无穷大时才会出现此种情况如下:

使a-q是-(p/q)^n的等比数列之和,要求是系数的绝对值相等,上式就是极限状态也不存在系数的绝对值相等
所以在有限整数n>2 的条件下a-q不可能是有限的或无限循环的,那么它只能是无理数,所以a也只能是无理数,据此与条件假设a为整数相矛盾,故此假设不成立
整数n>2时,对于互素的p,q,(q>p)没有整数a使得(3)等式成立
(3)
那么必然使得下式(4)成立
(4)
拓展2证明完毕

推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式