Question

高一数学:证明函数f(x)=x+1/x在(0，1)上为减函数。

Answer 1

设0<x1<x2<1,则：
f(x2)-f(x1)
=(x2+1/x2)-(x1+1/x1)
=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)
=(x2-x1)(1-1/(x1x2))
因为0<x1<x2<1
所以x2-x1>0,1/(x1x2)>1，所以f(x2)-f(x1)<0
f(x)在(0，1)为减函数

Answer 2

不妨设0<x1<x2<1,
则：f(x2)-f(x1)
=(x2+1/x2)-(x1+1/x1)
=(x2-x1)(1-1/(x1x2))
因为0<x1<x2<1
所以x2-x1>0,1/(x1x2)>1，
即f(x2)-f(x1)<0
所以f(x)在(0，1)为减函数
(你也可以设0<x2<x1<1)

Answer 3

设x1,x2属于(0，1)，且x1<x2
f(x1)-f(x2) = x1 + 1/x1 - x2 - 1/x2
= (x1-x2)-((x1-x2)/x1x2)
= (x1-x2)(1-1/x1x2)
因为x1,x2属于(0，1)，x1x2<1 1/x1x2>1
所以x1-x2<0 1-1/x1x2<0
f(x1)-f(x2)>0 减函数

Answer 4

导数不会用定义做
定义法：设0<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-(x2+1/x2)=x1-x2+(x2-x1)/x1x2
通分整理后有[（x2-x1）(1-x1x2)]/x1x2
分子是大于0的，所以f(x1)-f(x2)>0
故f(x)在(0，1)上为减函数。

Answer 5

设0<a<b<1
f(a)-f(b)=a+1/a-(b+1/b)=(a-b)+(1/a-1/b)=(a-b)+(b-a)/ab=(a-b)(1-1/ab)
因为0<a<b<1 所以 0<ab<1 所以1/ab>1 1-1/ab<0
因为a<b 所以 a-b<0 f(a)-f(b)<0
所以f(x)=x+1/x在(0，1)上为减函数