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二重积分的积分上下限如何确定？ 比如积分区域x(0,1)y(0,1),有的时候y的上

二重积分的积分上下限如何确定？
比如积分区域x(0,1)y(0,1),有的时候y的上下限是（0，1）有时候是（0，x）？好晕啊，求助大神

Answer 1

要学会二重积分计算，首先你得明确二重积分的物理意义：通常情况下可以理解为以x-y平面为底，被积分函数的曲面为顶的几何体的体积。二元函数的图像是曲面，如下图的f（x，y）。

积分区域一般都会有一组边是水平直线的，这样的积分简单，能算出常数值。比如x（0,1）,y（0,1）是一个以原点和（1,1）为顶点的正方形。而x(1,2)，y（1，x）的区域，则是一个三角形区域，如下图：

对于这种区域，横向和纵向都是规则的，原则上先积x方向或y方向都是可以的。

例子中是先积y，里面那层的积分的含义是：在x轴的（1，x）间任取一点作竖线，以竖线与积分区域相交的线段为底（当横坐标值为x时，y可取1到x的任意值，也即是图中红点和蓝点之间的点），与z方向的函数值积分（这里f(x,y)=xy)，只要x和y都确定了，z=f(x,y)的值也随之确定），实际上就是求x处，几何体横截面面积。

立体图形的体积一般都可以通过底面积乘高来计算，只不过积分可以是任意截面而不仅仅是底面。

二重积分里面那层就是计算了某一截面的面积，而外层积分，则是将这个截面沿着与截面垂直的方向移动，遍历该方向所有的截面，从而求出体积。对于正方形或长方形积分域，外层积分就是底面积乘高的过程，对于其他形状，这里则需要一些想象了，这也是积分运算神奇的地方。

积分的外层是对第一层求出的截面积积分（通常是变量），想象一把移动的切刀，在垂直于刀面的方向平移，它能移动的范围就是外层积分的上下限。

先说这些，不明白继续问。