Question

计算二重积分 ∫∫(x+y)dxdy [0≤x≤1;0≤y≤1]

∫∫(x+y)dxdy [0≤x≤1;0≤y≤1] 书上虽然给出了计算步骤， 但是我怎么都看不明白那个dxdy是怎么计算的~谁能给个最详细的讲解阿，有的说要做图求，但是要怎么做图啊？然后怎么求数值啊？
（x+y）dx的积分---->是怎么得出x^2/2+xy这个式子的？ 我就是这个积分不会做

Answer 1

这个是最简单的二重积分，因为x,y相互取值上是独立的（没有影响）。因此只需要分别对x,y积分就行了。比如先积x,就是（x+y）dx的积分在（0,1）上的值，把y看成常数。为x^2/2+xy,取x=1,x=0想减，得（x+y）dx=1/2+y-0=1/2+y,然后再对y积分，即（1/2+y）dy在（0,1）上的积分。为y^2/2+1/2*y，取y=1,y=0想减，即得到原式=1

至于说到面积法，其实是这个积分等价于求变长为1的正方形面积。这个问题是用积分的办法，求正方形面积，正方形边长为1，即x、y区间，x+y即正方形上的一点。

追问

（x+y）dx的积分---->是怎么得出x^2/2+xy这个式子的？ 我就是这个积分不会做

追答

你把y看成常数，相当于积分（x+y）dx啊，就是x^2/2+xy。
或者说，x^2/2+xy对x求导，就是x+y。（把y看成是常数）

Answer 2

∫∫(x+y)dxdy [0≤x≤1;0≤y≤1] 因为x,y没有相关性，于是
=∫xdx+∫ydy [0≤x≤1;0≤y≤1]
=x^2/2+y^2/2 [0≤x≤1;0≤y≤1]
=(1^2-0^2)/2+(1^2-0^2)/2=1
对么O(∩_∩)O

Answer 3

∫∫(x+y)dxdy [0≤x≤1;0≤y≤1]
=∫(x^2/2+xy)dy [0≤x≤1;0≤y≤1]把y看成常数
=∫(1/2+y-0)dy[0≤y≤1]
=(y/2+y^2/2)[0≤y≤1]
=1/2+1/2-0
=1