Question

计算二重积分 ∫∫(x+y)dxdy [0≤x≤1;0≤y≤1]

∫∫(x+y)dxdy [0≤x≤1;0≤y≤1] 书上虽然给出了计算步骤， 但是我怎么都看不明白那个dxdy是怎么计算的~谁能给个最详细的讲解阿，有的说要做图求，但是要怎么做图啊?然后怎么求数值啊?

Answer 1

先把二重积分化简成分步积分，再把y当做常数做一步；出来再把x当做常数再做一步就完了。

为x^2/2+xy，取x=1，x=0想减，得(x+y)dx=1/2+y-0=1/2+y，然后再对y积分，即(1/2+y)dy在(0,1)上的积分。为y^2/2+1/2*y，取y=1,y=0想减，即得到原式=1。

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

这个是最简单的
二重积分
，因为x,y相互取值上是独立的(没有影响)。因此只需要分别对x,y
积分
就行了。比如先积x,就是(x+y)dx的积分在(0,1)上的值，把y看成
常数
。为x^2/2+xy,取x=1,x=0想减，得(x+y)dx=1/2+y-0=1/2+y,然后再对y积分，即(1/2+y)dy在(0,1)上的积分。为y^2/2+1/2*y，取y=1,y=0想减，即得到原式=1
至于说到
面积法
，其实是这个积分等价于求变长为1的
正方形
面积。这个问题是用积分的办法，求正方形面积，正方形
边长
为1，即x、y区间，x+y即正方形上的一点。