Question

高数曲面积分 ，设∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2,则曲面积分(x+y+z)^2ds=?

Answer 1

4πa^4。

原式=∫∫(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)dS

=∫∫(x²+y²+z²)dS+∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS

=∫∫a ²dS +0+0+0

=a² •4πa²

=4πa^4

注：

1、∫∫(x²+y²+z²)dS=∫∫a ²dS （利用曲面积分可将曲面方程代入）

2、∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS

=0+0+0 （利用曲面积分的对称性）

扩展资料：

曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

第一类曲面积分是对面积的曲面积分 。

第二类曲面积分是对坐标轴的曲面积分。

对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分是可以转化的；两类曲面积分的区别在于形式上积分元素的不同，第一类曲面积分的积分元素是面积元素dS,例如：在积分曲面Σ上的对面积的曲面积分：

∫∫f(x,y,z)dS；

而第二类曲面积分的积分元素是坐标平面dxdy,dydz或dxdz,例如：在积分曲面Σ上的对坐标平面的曲面积分：

∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz。

Answer 2

高数曲面积分 ，设∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2,则曲面积分(x+y+z)^2ds=?
原式=∫∫(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)dS
=∫∫(x²+y²+z²)dS+∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS
=∫∫a ²dS +0+0+0
=a² •4πa²
=4πa^4
注：1、∫∫(x²+y²+z²)dS=∫∫a ²dS （利用曲面积分可将曲面方程代入）
2、∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS
=0+0+0 （利用曲面积分的对称性）