Question

求对面积的曲面积分∫∫zds,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2

设∑1表示上半球面：z1=√（R^2-x^2-y^2）,∑2表示下半球面z2= —√（R^2-x^2-y^2)

Answer 1

z=√(r²-x²-y²)

zx=-x/√(r²-x²-y²),zy=-y/√(r²-x²-y²)

∫∫zds

=∫∫√(r²-x²-y²)*√[1+(x²+y²)/(r²-x²-y²)] dxdy

=∫∫√(r²-x²-y²)*r/√(r²-x²-y²) dxdy

=r∫∫ dxdy

=r*πr²

=πr³

基本介绍

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。

比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

Answer 2

理解对面积的曲面积分的物理意义对于解题很有帮助。
把被积函数z看做球体表面面密度，然后再对曲面积分，即求球表面质量。
然后看题目给的条件：x^2+y^2+z^2=R^2 ，z是关于x，y的曲面函数（R是已知量）。
z^2=R^2-x^2-y^2 ，等式两边开根号得到两个z的表达式，即
上半球：z1=√（R^2-x^2-y^2)，下半球：z2= —√（R^2-x^2-y^2）。
根据z的物理意义，把z看做球表面面密度。
上班球和下半球密度的绝对值相等，但符号相反。（一个看成正密度，一个看成负密度）。
此题即求曲表面面积大小相等，面积密度互为相反的两个半球的质量之和。
可以比较直观地想象出答案，即∫∫ z dS = 0。（对称性的解释比较抽象，需要把对面积的曲面积分转换为二重积分来作解释。）
http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/10.4duqumian.htm 这里有转换过程的解释

Answer 3

因为被积函数z是变量z的奇函数，而积分曲面（球面）关于坐标面z=0对称，所以曲面积分等于0.

Answer 4

由对称性，∫∫ z dS = 0, 其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2。